# 一、螺旋理论基础
## 1、线矢量
用对偶矢量$ (\vec {S};\vec {S_0}) $表示，也可表示成$ \vec{S}+\in \vec{S_0} $

其中$ \vec{S} $为原级矢量，代表直线的方向；$ \vec{S_0} $为次级矢量，代表$ \vec{S} $对原点的线距。

**相关性质**：

1. $ \vec{S} \cdot \vec{S_0}=0 $
2. $ \vec{r} \times \vec{S}=\vec{S_0} $
3. 若$ \vec{S} $为单位向量，则$ \vert{S_0}\vert $表示直线到原点的距离
4. 每个单位线矢对应唯一的一条空间直线，一条空间直线对应两个单位线矢量（方向相反）

（1）、Plücker坐标

$ (\vec {S};\vec {S_0}) $，也可用分量$ (L,M,N;P,Q,R) $表示，在三维空间中可以表示$ \infty^5 $条不同<font style="color:#DF2A3F;">方向、位置和长度</font>的有向线段；可以表示$ \infty^4 $条不同<font style="color:#DF2A3F;">方向、位置</font>的直线。

根据普吕克坐标判断直线在空间的类型：前一部分为方向向量，后一部分可以理解为力矩，若这条直线跟坐标轴共面，则其线距为0.

（2）、$ \vec{S} $到原点距离

$ \vec{p}=\frac{\vec{S}\times \vec{S_0}}{\vec{S}\cdot \vec{S}}=\frac{\vert\vec{S_0}\vert}{\vert\vec{S}\vert}\vec{e} $，$ \vert\vec{p}\vert=\frac{\vert\vec{S_0}\vert}{\vert\vec{S}\vert} $

$ \vec{S_0}=0 $时，直线过原点；$ \vec{S}=0 $时，$ \vert\vec{p}\vert=\infty $，此时$ \vec{S_0} $与原点的位置选择无关，我们称$ (\vec {0};\vec {S_0}) $为自由向量，也称为偶量，即为$ (\vec {0};\vec {S}) $。

（3）、两直线的互距

![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2023/jpeg/29754277/1677142644642-b2b0aefc-3a69-4cbf-9111-e685a03bf07c.jpeg)

如图，$ a_{12} $为两直线间的垂直距离，$ \alpha_{12} $为扭向角。

互距公式：$ M_m=a_{12}\vec{\alpha_{12}}\times \vec{S_2} \cdot \vec{S_1} \\
M_m=\vec{S_1}\cdot\vec{S_{02}}+\vec{S_2}\cdot\vec{S_{01}} $

当$ \vec{S_1} $和$ \vec{S_2} $都是单位向量时，有：

$ \vec{S_2}\times\vec{S_1}=-\vec{a_{12}}sin\alpha_{12} $，$ M_m=a_{12}\vec{\alpha_{12}}\times \vec{S_2} \cdot \vec{S_1}=-a_{12}sin\alpha_{12} $

小结论：

<font style="color:rgb(18, 18, 18);">①、</font><font style="color:#DF2A3F;">互矩只与两直线间的距离及扭向角有关，与坐标系的选择无关</font>

<font style="color:rgb(18, 18, 18);">②、</font><font style="color:#DF2A3F;">两直线共面，互矩为0</font>

## 2、螺旋
对偶矢量$ (\vec{S},\vec{S_0}) $中，当$ \vec{S}\cdot\vec{S_0}\neq0 $时，称为螺旋，用$ (\vec{S},\vec{S^0}) $表示。

1. 搬迁公式  
![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2023/jpeg/29754277/1677481526997-170453a6-b815-4a2a-b213-1d2eeb75dbb6.jpeg)

$ \boldsymbol{S}_{0 \mathrm{~A}}=\boldsymbol{S}_{0 \mathrm{~B}}+\overrightarrow{A B} \times \boldsymbol{S} $

线矢量及螺旋都满足搬迁公式

2. 节距

$ h=\frac{\boldsymbol{S} \cdot \boldsymbol{S}^0}{\boldsymbol{S} \cdot \boldsymbol{S}} $，节距是原点不变量，与坐标原点的选择无关

3. 轴线方程  
![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2023/png/29754277/1677482659651-f126cc10-c674-4af3-986a-b85cc7585775.png)

$ \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{S}=\boldsymbol{S}^0-h \boldsymbol{S}=\boldsymbol{S}_0 $  

一个螺旋包含了4个要素，$ \left(\boldsymbol{S} ; \boldsymbol{S}^0\right)=(\boldsymbol{S} ; \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{S}+h \boldsymbol{S})=\left(\boldsymbol{S} ; \boldsymbol{S}_0+h \boldsymbol{S}\right)=\left(\boldsymbol{S} ; S_0\right)+(0 ; h \boldsymbol{S}) $，

即：螺旋的轴线：$ \vec{r} \times \vec{S} $

 螺旋的节距：$ h $

 螺旋的方向：$ \vec{S} $

 螺旋的大小：$ \vert\vec{p}\vert=\frac{\vert\vec{S_0}\vert}{\vert\vec{S}\vert} $

总结：

![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2023/png/29754277/1677482983576-76902008-3fac-45c2-ae1e-c50b54ca12a3.png)

### 螺旋的代数运算
1、数乘运算：$ a \boldsymbol{s\mkern-9mu/}=a \boldsymbol{S}+\in a \boldsymbol{S}^0 $，满足分配律和交换律

2、加法运算：$ \boldsymbol{S\mkern-12.5mu/}_1+\boldsymbol{S\mkern-12.5mu/}_2=\left(\boldsymbol{S}_1+\boldsymbol{S}_2\right)+\in\left(\boldsymbol{S}_1^0+\boldsymbol{S}_2^0\right) $

a. 共面两线矢量之和仍为线矢量

b. 两节距为非零有限值的螺旋之和一般仍然是节距为非零有限值的螺旋，但也可能为线矢量

c. 不共面的两线矢量之和为节距不为零的螺旋

3、互易积：$ \boldsymbol{S\mkern-12.5mu/}_1 \circ \boldsymbol{S\mkern-12.5mu/}_2=\boldsymbol{S}_1 \cdot \boldsymbol{S}_2^0+\boldsymbol{S}_2 \cdot \boldsymbol{S}_1^0 $

<font style="color:#DF2A3F;">两线矢量共面</font>$ \leftrightarrow $<font style="color:#DF2A3F;">它们互易积为零</font>

两螺旋的互易积与原点的选择无关

## 3、刚体的瞬时螺旋运动和力螺旋
### 螺旋运动
在三维空间里，刚体最一般的运动形式为螺旋运动。

1、刚体的瞬时转动

![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2023/png/29754277/1677670316885-e2e830ad-2f8f-4e29-bc26-de2c52688c4e.png)

$ \omega \boldsymbol{S\mkern-12.5mu/}=\omega\left(\boldsymbol{S} ; \boldsymbol{S}_0\right)=\omega \boldsymbol{S}+\in \omega \boldsymbol{S}_0 $（其中$ \vec{S\mkern-11mu/} $为单位线矢量）

轴线方程：$ \vec{r} \times \vec{S} = \vec{S_0} $，所以上式中$ \omega S_0=\omega r \times S=r \times \omega=v_0 $

则：$ \omega S=\vec\omega+\in \vec{v_0}=\left(\vec\omega ; \vec{v_0}\right) $，其中$ \vec{v_0} $为刚体上与坐标原点重合点的线速度矢量。

2、刚体的瞬时移动

用自由矢量$ (\vec{0}; \vec{v}) $表示，其中$ \vec{v} = v\vec{S} $

3、刚体的运动合成

![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2023/png/29754277/1677671357446-df55b624-8dcf-4734-9bb9-592d27b9c38e.png)

就是既有转动，又有移动，本质上就是螺旋的加减法。

$ \omega_i \boldsymbol{S\mkern-12.5mu/}_i=\omega_i \boldsymbol{S}_i+\in \omega_i \boldsymbol{S}_i^0 $，其中$ \begin{array}{c}
\omega_i \boldsymbol{S}_i=\omega_1 \boldsymbol{S}_1 \\
\omega_i \boldsymbol{S}_i^0=\omega_1 \boldsymbol{S}_{01}+v_2 \boldsymbol{S}_2
\end{array} $······<font style="color:rgb(18, 18, 18);">①</font>

合成螺旋的节距：$ h_i=\boldsymbol{S}_i \cdot \boldsymbol{S}_i^0=v_2 / \omega_1 \cos \alpha_{12} $······<font style="color:rgb(18, 18, 18);">②</font>

<font style="color:rgb(18, 18, 18);">轴线方程：</font>$ \boldsymbol{r_i} \times \boldsymbol{S}_i=\boldsymbol{S}_i^0-h_i \boldsymbol{S}_{\boldsymbol{i}} $<font style="color:rgb(18, 18, 18);">······③</font>

<font style="color:rgb(18, 18, 18);">刚体的绝对运动可分解为：</font>$ \omega_i\left(\vec{S_i} ; \vec{S_i^0}\right)=\omega_i\left(\vec{S_i} ; \vec{S_i^0}-h_i \vec{S_i}\right)+\omega_i\left(0 ; h_i \vec{S_i}\right) $<font style="color:rgb(18, 18, 18);">,将①②两式代入，合成运动的普吕克坐标为 </font>$ \left(\omega_1 \boldsymbol{S}_1 ; \omega_1 \boldsymbol{r}_1 \times \boldsymbol{S}_1+v_2 \boldsymbol{S}_2-v_2 \cos \alpha_{12} \boldsymbol{S}_1\right) $<font style="color:rgb(18, 18, 18);">，</font>

<font style="color:rgb(18, 18, 18);">又可记为：</font>$ \omega_i \vec{S_i\mkern-15mu/}=\vec{\omega_i}+\in \vec{v_i^0}=\left(\vec{\omega_i} ; \vec{v_i^0}\right)=\left(\vec\omega_i ; \vec\omega_i \vec{r_i} \times \vec{S_i}+\omega_i h_i \vec{S_i}\right) $

节距：$ h_i=\vec\omega_i \cdot \vec{v_i^0} /\left(\vec\omega_i \cdot \vec\omega_i\right)=v_i / \omega_i $

轴线方程：$ \vec{r} \times \vec\omega_i=\vec{v_i^0}-h_i \vec{\omega_i} $

### 力螺旋
1、刚体上的作用力

表示为：$ f \boldsymbol{S}=\boldsymbol{f}+\in f \boldsymbol{S}_0=f \boldsymbol{S}+\in f \boldsymbol{S}_0 $，也可表示为：$ f \boldsymbol{S}=\boldsymbol{f}+\in \boldsymbol{C_0} $，式中$ \boldsymbol{C_0}=f\boldsymbol{S_0} $

2、刚体上的力偶

表示为：$ C \vec{S\mkern-11mu/}=C(0 ; \vec{S})=(0 ; C \vec{S})=(0 ; \vec{C}) $

3、刚体上作用力的合成

![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2023/png/29754277/1677674865898-aae3894e-9529-4c42-8a4a-9516da32ad59.png)

$ f_i \boldsymbol{S\mkern-12.5mu/}_i=f_i \boldsymbol{S}_i+\in f_i \boldsymbol{S}_i^0 $，原部与对偶部分别为：$ f_i \boldsymbol{S}_i=f_1 \boldsymbol{S}_1, \quad f_i \boldsymbol{S}_i^0=f_1 \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{S}_1+C_2 \boldsymbol{S}_2 $

节距：$ h_i=\frac{C_2}{f_1}cos\alpha_{12} $

轴向方程：$ \boldsymbol{r}_{\boldsymbol{i}} \times \boldsymbol{S}_1=\boldsymbol{S}_i^0-h_i \boldsymbol{S}_1 $

又可表示为：$ f_i \boldsymbol{S}_{\boldsymbol{i}}=f_i \boldsymbol{S}_{\boldsymbol{i}}+\in f_i\left(\boldsymbol{S}_{0 i}+h_i \boldsymbol{S}_i\right) $

节距：$ h_i=\frac{C_i}{f_i} $

# 二、螺旋的相关性和相逆性
1、对于一个开链机构或串联机器人，末端刚体的运动可以表示为诸连杆运动的叠加；当每个连杆间的相对运动表示为螺旋时，末端的运动就是诸螺旋的线性叠加。

2、因为普吕克坐标的原部和对偶部只有6个分量，所以螺旋系最多只含有六个线性无关的螺旋。

## 1、螺旋系
定义1 设一非空螺旋集合$ T $，若对于任意一个数$ \lambda $及任何$ \vec{S\mkern-11mu/_1} $和$ \vec{S\mkern-11mu/_2} $$ \in T $，有：

$ \boldsymbol{S\mkern-12.5mu/}_1+\boldsymbol{S\mkern-12.5mu/}_2 \in T, \quad \lambda \boldsymbol{S\mkern-12.5mu/}_1 \in T $，则称$ T $为螺旋系。螺旋系对加法及数乘封闭。

定义2 由$ n $个螺旋$ \boldsymbol{S\mkern-12.5mu/}_1 $，$ \boldsymbol{S\mkern-12.5mu/}_2 $，···，$ \boldsymbol{S\mkern-12.5mu/}_n $的任意<font style="color:#DF2A3F;">线性组合</font>形成螺旋系$ T $，则$ T $称为这些螺旋的展成螺旋系。

定义3 在螺旋$ T $中，若存在$ n $个线性无关的螺旋，且$ T $中所有螺旋均是这$ n $个螺旋的线性组合，则称这$ n $个螺旋为螺旋系$ T $的一个基。基中含有的螺旋数目称为$ T $的秩，记作$ rank(T) $

定义4 若螺旋系$ T $的一个非空子集$ T_i $在螺旋的加法与数乘下封闭，则$ T_i $为$ T $的一个子螺旋系。

定义5 螺旋系$ T $的两个子螺旋$ T_i $（含$ n $个螺旋）与$ T_j $（含$ k $个螺旋）的并为$ T_i \cup T_j=\left\{\sum_{i=1}^n \boldsymbol{S\mkern-12.5mu/}_i+\sum_{j=1}^k \boldsymbol{S\mkern-12.5mu/}_j \mid \boldsymbol{S\mkern-12.5mu/}_i \in T_i, \boldsymbol{S\mkern-12.5mu/}_j \in T_j\right\} $，

两个子螺旋的交为：$ T_i \cap T_j=\left\{\boldsymbol{S\mkern-12.5mu/} \mid \boldsymbol{S\mkern-12.5mu/} \in T_i, \boldsymbol{S\mkern-12.5mu/} \in T_j\right\} $

## 2、螺旋系串并联定理
### 串联定理
螺旋系的并+运动叠加原理=螺旋系串联定理

![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2023/png/29754277/1677756583966-db263834-6568-41a5-b7d4-19b184f5bc43.png)

设刚体$ r $经$ k $螺旋系$ T_i(i=1,2,···k) $依次串联到刚体0上，则刚体$ r $与刚体$ 0 $之间的相对运动螺旋系$ T $为：$ T=\bigcup_{i=1}^k T_i $，若有$ \vec{S\mkern-11mu/}\in T $，则：$ \boldsymbol{S\mkern-12.5mu/}=\sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^n \boldsymbol{S\mkern-12.5mu/}_{i j} $

**特殊：单回路运动链的螺旋方程**

单回路运动链可视为单开链的首末两连杆合并为一连杆而成，所以两连杆的相对运动螺旋$ \boldsymbol{S\mkern-12.5mu/}_{r-0}=\sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^n \boldsymbol{S\mkern-12.5mu/}_{i j}=\mathbf{0} $

### 并联定理
螺旋系的交+运动相容性原理=螺旋系并联定理

![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2023/png/29754277/1677756618467-73603c7e-c467-462c-93da-f314c7c89f85.png)

$ T=\bigcap_{i=1}^k T_i $，若有若有$ \vec{S\mkern-11mu/}\in T $，则：$ \boldsymbol{S\mkern-12.5mu/}\in T_i,i=1,2,···k $

## 3、螺旋的相关性
1、定义：对于$ n $个螺旋$ \boldsymbol{S\mkern-12.5mu/}_i $，若可找到一组不全为0的数$ \omega_i $，使得$ \sum_{i=1}^n \omega_i \boldsymbol{S\mkern-12.5mu/}_i=\mathbf{0} $，则这$ n $个螺旋线性相关

2、定理：螺旋的相关性与坐标系的选择无关

3、判定方法

a. 秩判定

将各个螺旋普吕克坐标写成矩阵$ \vec{J} $，然后判定矩阵的秩，秩为$ n $，就有$ n $个线性无关的螺旋（$ n\leq 6 $）

b. 几何条件判定（Grassmann线几何）

线簇秩为0，空集，没有任何直线

线簇秩为1，在三维空间仅有一条直线

![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2023/png/29754277/1677757805117-8129c278-0802-4d80-a798-831acee8a16f.png)

线簇秩为2

1）空间交错的两条直线

2）平面上不重合的两条直线，构成平行线束或汇交于一点的线束

![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2023/png/29754277/1677757889118-62ca54b8-2f63-4a9e-864f-5a6ab6b41a66.png)

线簇秩为3

1）空间互不平行，不想交的3条直线

2）汇交点在两个平面交线上的<font style="color:#DF2A3F;">两个平面线矢</font>

证：$ \begin{array}{l}
\boldsymbol{S}=\omega_1 \boldsymbol{S}_1+\omega_2 \boldsymbol{S}_2 \\
\boldsymbol{S}=\omega_3 \boldsymbol{S}_3+\omega_4 \boldsymbol{S}_4 \\
\boldsymbol{S}_4=\frac{\omega_1}{\omega_4} \boldsymbol{S}_1+\frac{\omega_2}{\omega_4} \boldsymbol{S}_2-\frac{\omega_3}{\omega_4} \boldsymbol{S}_3
\end{array} $

3）空间共点线矢$ (\boldsymbol{S\mkern-12.5mu/}_i=(a,b,c;0,0,0)) $

4）共面线矢（有多个交点）

![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2023/png/29754277/1677758815976-d2963753-6e94-4d77-bee8-8ba5b67724b1.png)

线簇秩为4（线汇）

1）4条在空间相互不平行、不相交的直线

2）能同时与已知两条空间异面直线相交的$ n $条直线

证：$ \begin{array}{l}\left.\begin{array}{l}\boldsymbol{S}_1=\left(L_1 M_1 N_1 ; P_1 Q_1 R_1\right) \\ \boldsymbol{S}_2=\left(L_2 M_2 N_2 ; P_2 Q_2 R_2\right)\end{array}\right] \\ P_1 L+Q_1 M+R_1 N+L_1 P+M_1 Q+N_1 R=0 \\ P_2 L+Q_2 M+R_2 N+L_2 P+M_2 Q+N_2 R=0 \\\end{array} $，6个变量，2个方程，解得4个线性无关的解，所以线簇秩为4

3）有1条公共交线且汇交点在该线上的3个平面线矢（证明方法同3（2））

4）既包含共点，又包含共面的直线簇，且汇交点在该平面上

证明：

![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2023/jpeg/29754277/1677759749698-ded496a1-eb1c-49de-9e9d-18c531f0019b.jpeg)

![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2023/png/29754277/1677759659576-2482466e-4e3a-4b90-b1e5-b4c4c7feca5e.png)

线簇秩为5（线丛）

1）一般线性丛（非奇异线性丛）

5条线性无关且不与同一条直线相交的直线

2）特殊线性丛（奇异线性丛）

所有直线同时与一条直线想交时发生

证明：设该条直线为$ \boldsymbol{S\mkern-12.5mu/}_i=(a,b,c;d,e,0) $，易知$ rank(\boldsymbol{S\mkern-12.5mu/})=5 $

![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2023/png/29754277/1677760027243-a82a1c72-1b6d-4695-a130-fb4fe45c2337.png)

线簇秩为6

满秩，其在三维空间任意

### 偶量的相关性
1. 相同方向的偶量只有一个是独立的
2. 平面中存在两个独立的偶量
3. 三维空间中存在三个独立的偶量

### 旋量的相关性
![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2023/png/29754277/1677760258839-8c400a11-5a2b-4709-a808-d5e8c319384b.png)

![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2023/png/29754277/1677760280107-e169dcd6-d9a4-4543-a419-857c7bc5d49b.png)

## 4、螺旋的相逆性
1、力螺旋和运动螺旋的互易积就是瞬时功率

2、若两螺旋的互易积为0，则这两个螺旋互为反螺旋

3、性质：

|  | 力 | 运动 |
| --- | :---: | :---: |
| 两螺旋互易积为0 | 驱动力 | 被约束的运动 |
| | 约束反力 | 被促进的运动 |
| 两螺旋互易积不为0 | 驱动力 | 被促进的运动 |
| | 约束反力 | 被约束的运动 |


4、两螺旋相逆的充要条件：$ (h_1 + h_2)cos\alpha_{12}-a_{12}sin\alpha_{12}=0 $，可以看出，两个螺旋的相逆只与两个螺旋的参数有关，与坐标系的选择无关。

**总结**

1. 两线矢量相逆的充要条件是共面，不共面的两线矢必不相逆
2. 两个偶量必相逆
3. 线矢量与偶量仅在垂直时相逆，不垂直时不相逆
4. 线矢量与偶量皆自逆
5. 任何垂直相交的两旋量必相逆，与节距大小无关
6. 轴线共面（但不垂直）时，节距大小相等而符号相反的两旋量才相逆
7. 同轴时，节距大小相等而符号相反的两旋量也相逆
8. 给出节距为$ h_1 $的旋量，在与其空间相错的另一条确定的直线上，存在唯一的节距为$ h_2 $的反螺旋

### 单螺旋的反螺旋系
齐次线性方程组有$ n $个未知数，方程组系数矩阵的秩为$ r $

$ r=n $，唯一零解；

$ r<n $，无穷多解，解向量的最大线性无关解数目为$ n-r $

**<font style="color:#DF2A3F;">螺旋系的秩和反螺旋系的秩之和为6</font>**

# 串联机器人机构拓扑结构特征与综合
## 1、结构组成及其符号表示
机构=连杆+运动副，其中运动副约束自由度，连杆尺度参数约束方向与位置

1、运动副基本类型

![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2023/png/29754277/1678703138563-11d46a3d-f308-4144-9056-2b292f80a442.png)

2、尺度参数与尺度型机构

（1）、直角坐标系的建立方法（D-H）

a. $ z_i $轴线沿第$ i $个运动副轴线方向，正向任意选定

b. $ x_i $轴线沿第$ i $与$ i+1 $个运动副两轴线的公垂线方向，其正向由第$ i $个指向第$ i+1 $个。

| 两运动副轴线关系 | $ x_i $ | 方向 |
| :---: | :---: | :---: |
| 平行 | 垂直于两轴线的任一直线 | $ i->i+1 $ |
| 想交 | 交点为原点，$ x_i = z_i \times z_{i+1} $ | 垂直于两轴线的平面 |


c. $ y_i $轴线根据右手法则确定

（2）、尺度参数

$ \theta_i $（转角）：$ z_i $轴线由$ x_{i-1} $转向$ x_i $轴的关节角

$ d_i $（轴向偏置）：第$ i $个运动副的两条公垂线（$ x_{i-1} $与$ x_i $之间的距离），方向与$ z_i $同向

$ a_i $（杆长）：两相邻运动副轴线之间公垂线的长度

$ \alpha_i $（扭角）：按右手坐标系，绕$ x_i $轴线由$ z_i $到$ z_{i+1} $的转角

![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2023/png/29754277/1678704580276-b0e75dd1-0800-41a3-9a3e-32be462a0f01.png)

（3）、尺度类型

| 运动副轴线配置关系 | 尺度参数 |
| :---: | :---: |
| 重合 | $ \alpha_i = 0,a_i = 0 $ |
| 平行 | $ \alpha_i = 0,a_i \ne 0  $ |
| 相交于一点 | $ \alpha_i \ne 0,a_i = 0 $ |
| 垂直 | $ \alpha_i = \frac{\pi}{2} $ |
| 三个互不平行的移动副共面 | $ \alpha_i= $常数，$ a_i = 0,\theta_i = 0 $ |


3、串联机器人机构结构组成及其符号表示

对由P副、R副、H副构成的串联机器人机构称为SOC

| 轴线配置关系 | 表示方法 | 例 |
| :---: | :---: | :---: |
| 任意方位配置 | — | R-R，R-P |
| 重合 | / | R/R，R/P |
| 平行 | // | R//R，R//P |
| 相交于一点 | $ \overparen{} $ | $ \overparen{R R}, \overparen{R P}, \overparen{RRR} $ |
| 若干个P副平行于同一平面 | <font style="color:rgb(77, 77, 77);">▱</font> | <font style="color:rgb(77, 77, 77);">▱（-P-P-······-P-）</font> |
| 垂直 | $ \perp $ | $ R\perp R $<br/>特殊：<br/>$ R\perp P \perp R^* $且$ R//R^* $时，记为$ R(\perp P)//R^* $<br/>$ R-P-R^* $且$ R//R^* $时，记为$ R(-P)//R^* $ |


4、活动度公式（串联机器人）：

一般来说，活动度可理解为机构末端自由度

$ F=\sum_{i=1}^m f_i $ ，其中$ m $为机构运动副数，$ f_i $为第$ i $个运动副自由数

5、串联机器人机构运动输出特征矩阵

位移输出矩阵：$ M_{\mathrm{S}}\left(\theta_1 \sim \theta_F\right)=\left[\begin{array}{lll}x\left(\theta_1 \sim \theta_F\right) & y\left(\theta_1 \sim \theta_F\right) & z\left(\theta_1 \sim \theta_F\right) \\ \alpha\left(\theta_1 \sim \theta_F\right) & \beta\left(\theta_1 \sim \theta_F\right) & \gamma\left(\theta_1 \sim \theta_F\right)\end{array}\right] $

速度输出矩阵：$ \dot{M}_{\mathrm{S}}\left(\dot{\theta}_1 \sim \dot{\theta}_F\right)=\left[\begin{array}{lll}\dot{x}\left(\dot{\theta}_1 \sim \dot{\theta}_F\right) & \dot{y}\left(\dot{\theta}_1 \sim \dot{\theta}_F\right) & \dot{z}\left(\dot{\theta}_1 \sim \dot{\theta}_F\right) \\ \dot{\alpha}\left(\dot{\theta}_1 \sim \dot{\theta}_F\right) & \dot{\beta}\left(\dot{\theta}_1 \sim \dot{\theta}_F\right) & \dot{\gamma}\left(\dot{\theta}_1 \sim \dot{\theta}_F\right)\end{array}\right] $

其中$ x\left(\theta_1 \sim \theta_F\right), y\left(\theta_1 \sim \theta_F\right), z\left(\theta_1 \sim \theta_F\right) $为末端连杆的动坐标系原点在机器人基座坐标系中的坐标；$ \alpha\left(\theta_1 \sim \theta_F\right),\beta\left(\theta_1 \sim \theta_F\right), \gamma\left(\theta_1 \sim \theta_F\right) $为末端动坐标系相对于静坐标系的方向参数；$ \theta_i $为第$ i $个主动输入的广义变量（可以是转角，也可以是位移）；$ F $为机构活动度。

在运动输出矩阵中，有$ \xi_s $个独立运动输出元素，将$ \xi_s $称为机器人的秩。$ \xi_s<6 $,欠秩机器人；$ \xi_s=6 $，满秩机器人。

$ F>\xi_S $，冗余度机器人

运动副的自由度为$ n $，则其输出矩阵$ \xi_S=\xi_{SP} + \xi_{SR} = n $

位移输出矩阵和速度输出矩阵统称为运动输出矩阵，其也可用向量形式表示：$ \boldsymbol{M}_{\mathrm{S}}=\left[\begin{array}{c}t^{\xi_{\mathrm{SP}}} \\ r^{\xi_{\mathrm{SR}}}\end{array}\right] \quad \dot{\boldsymbol{M}}_{\mathrm{S}}=\left[\begin{array}{l}\dot{t}^{\xi_{\mathrm{SP}}} \\ \dot{r}^{\xi_{\mathrm{SR}}}\end{array}\right] $，式中$ t^{\xi_{sp}} $为末端独立平移输出，$ \xi_{SP} $为独立平移数；$ \xi_{SR} $为独立转动输出数。

例：

![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2023/png/29754277/1678707947024-3db0d776-5217-4b42-a841-1937aba9b04d.png)

6、位移输出矩阵类型

![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2023/png/29754277/1678708020786-019c5d95-92ea-4d09-aeff-d9e409f7078b.png)

## 2、运动输出特征方程求解
### 运动螺旋的矩阵表示
$ \boldsymbol{S\mkern-12.5mu/}=\left[\begin{array}{ccc}t_x & t_y & t_z \\ r_x & r_y & r_z\end{array}\right] $，其等价于速度输出矩阵，即：$ \boldsymbol{S}=\left[\begin{array}{lll}t_x & t_y & t_z \\ r_x & r_y & r_z\end{array}\right]=\dot{\boldsymbol{M}}_{\mathrm{S}}=\left[\begin{array}{ccc}\dot{x} & \dot{y} & \dot{z} \\ \dot{\alpha} & \dot{\beta} & \dot{\gamma}\end{array}\right] $

### 运动副的运动输出矩阵
1、移动副

![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2023/png/29754277/1678713790824-21137736-e6f8-4018-a623-4b43511a2aef.png)

2、转动副（既有转动，又有衍生平移）

![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2023/png/29754277/1678713840803-d9b9cbc7-a294-4ab2-a7bc-6b287d5ff66f.png)

3、螺旋副（转动、轴向平移，该转动的衍生平移）

![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2023/png/29754277/1678713928002-8ae6aa8d-500f-4550-80b0-b66a5b8ce98c.png)

### 运动输出方程求解
1、末端连杆相对于机架的运动螺旋$ \boldsymbol{S\mkern-12.5mu/}_{n-0} = \sum_{i=1}^{n}\boldsymbol{S\mkern-12.5mu/}_i $，得出机构速度输出方程为：

$ \dot{\boldsymbol{M}}_{\mathrm{S}}=\left[\begin{array}{ccc}\dot{x} & \dot{y} & \dot{z} \\ \dot{\alpha} & \dot{\beta} & \dot{\gamma}\end{array}\right]=\boldsymbol{S\mkern-12.5mu/}_{n-0}=\left[\begin{array}{lll}t_x^{(n-0)} & t_y^{(n-0)} & t_z^{(n-0)} \\ r_x^{(n-0)} & r_y^{(n-0)} & r_z^{(n-0)}\end{array}\right]=\sum_{i=1}^n\left[\begin{array}{lll}t_{x i} & t_{y i} & t_{z i} \\ r_{x i} & r_{y i} & r_{z i}\end{array}\right] $

2、相关性对应原理

<font style="color:#DF2A3F;">尺度型串联机器人</font>机构的速度输出特征矩阵与位移输出矩阵具有对应相关性，且<font style="color:#DF2A3F;">存在条件相同</font>。

3、运动过程的相关性

1. 相互平行的两平移必相关
2. 平行于同一平面的三个平移必相关
3. 不平行于同一平面的四个平移必相关
4. 相互平行（重合）的两个转动必相关
5. 平行于同一平面的三个转动必相关
6. 不平行于同一平面的四个转动必相关

4、相关特性

1. 末端输出矩阵中的独立元素，则其运动副输出矩阵相同位置必有一个元素独立
2. 末端输出矩阵中的非独立元素，则其运动副输出矩阵相同位置的元素均不独立

### 运动输出矩阵求解
方法很简单，建坐标系（使R副和H副轴线尽可能多地通过坐标系原点），列方程。

例：

![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2023/png/29754277/1678715639184-52f3661e-d4c0-4a14-b4e2-3679eea995ad.png)

**运动副轴线特殊配置类型及其运动输出特征**

| 运动副轴线类型 | | 运动输出矩阵 |
| :---: | --- | :---: |
| 恒重合 | 转动副 | $ \boldsymbol{M_S}=\left[\begin{array}{c}\left\{t^1\left(\perp \mathrm{R}_1\right)\right\} \\ r^1\left(/ / \mathrm{R}_1\right)\end{array}\right] $ |
| | 移动副 | $ \boldsymbol{M_{\mathrm{S}}}=\left[\begin{array}{c}t^1\left(/ / \mathrm{P}_1\right) \\ r^0\end{array}\right] $ |
| 恒平行 | | $ M_{\mathrm{S}}=\sum_{i=1}^n M_{\mathrm{R}_i}=\left[\begin{array}{c}t^0 \\ r^1\left(/ / \mathrm{R}_i\right)\end{array}\right]_{\mathrm{R}_i}+\sum_{i=1}^n\left[\begin{array}{c}t^1\left(\perp \mathrm{R}_i\right) \\ \left\{r^1\left(/ / \mathrm{R}_i\right)\right\}\end{array}\right]_{\mathrm{R}_i} $ |
| 恒共点 | | $ \boldsymbol{M}_{\mathrm{S}}=\sum_{i=1}^n \boldsymbol{M}_{\mathrm{R}_i}=\sum_{i=1}^n\left[\begin{array}{c}t^0 \\ r^1\left(/ / \mathrm{R}_i\right)\end{array}\right]_{\mathrm{R}_i} $ |
| 恒共面 | | $ \boldsymbol{M}_{\mathrm{S}}=\sum_{i=1}^n \boldsymbol{M}_{\mathrm{P}_i}=\sum_{i=1}^n\left[\begin{array}{c}t^1\left(/ / \mathrm{P}_i\right) \\ r^0\end{array}\right]_{\mathrm{P}_i}=\left[\begin{array}{c}t^2\left(/ / \square\left(\mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2, \cdots, \mathrm{P}_{\mathrm{n}}\right)\right) \\ r^0\end{array}\right] $ |
| 转动副轴线与移动副垂直 | | $ \boldsymbol{M}_{\mathrm{S}}=\sum_{i=1}^2 \boldsymbol{M}_{\mathrm{R}_i}+\sum_{j=1}^n \boldsymbol{M}_{\mathrm{P}_j}=\left[\begin{array}{c}t^2(\perp \mathrm{R}) \\ r^1(/ / \mathrm{R})\end{array}\right] $ |


