# 本课程主要研究模型和三态（稳、准、快）
# 一、微分方程的建立要点
## 1、对于有质量的物体系统，物体两侧位移相等；
##       对于无质量的物体理想系统，某点两侧受力相等。
## 2、齿轮的传动比
**i = z1/z2，减速比为1/i，多级传动中各参数折算到输入轴公式：**

$ J_{le} = J_1+i^2J_2——折算到输入轴上的转动惯量 $

$ B_{le}=B_1+i^2B_2——折算到输入轴上的阻尼系数 $

$ M_{0e}=iM_0(t)——折算到输入轴上的负载转矩 $                                    

## 3、直流电机开环机械特性
$ n=\frac{U_d-I_d R_{\varepsilon}}{C_e}，其中C_e为反电动势系数 $

**对于步进电机来说，先接定子，再接转子。**

# 二、传递函数
## 1、要注意是在零初始条件下，输出比输入
**零初始条件的含义：**

**（1）、系统输入量及其各阶导数在t=0时的值为0。**

**（2）、系统输出量及其各阶导数在t=0时的值为0。**

## 2、建立传递函数的要点
**（1）、对微分方程取拉式变换**

**（2）、一定要注意是输出比输入**

## 3、传递函数的标准形式
$ G(s)=\frac{X_b(s)}{X_i(s)}=\frac{K_{i=1}^n\left(s-z_j\right)}{\prod_{i=1}^m\left(s-p_i\right)}=\frac{K^{\prime}\left(s-z_1\right)\left(s-z_2\right) \cdots\left(s-z_m\right)}{\left(s-p_1\right)\left(s-p_2\right) \cdots\left(s-p_n\right)} $，**其中Xb(s)=0的根为零点，影响瞬态响应曲线的形状，不影响稳定性。Xi(s)=0的根为极点，影响系统稳定性。**

## 4、典型环节的传递函数
![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2022/png/29754277/1666701598983-7637f231-06d2-49dc-8da0-ce9eb77428a7.png)

## 5、方框图的等效转换和简化
**（1）、串联环节等效转换**

![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2022/png/29754277/1666701835811-b5d37d7f-294a-4565-a710-3af60225e42a.png)



**（2）、并联环节等效转换**

![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2022/png/29754277/1666701860769-acd6d347-5d21-4396-a2d2-542428fc1b13.png)

**（3）、反馈环节等效转换**

![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2022/png/29754277/1666701901252-2d0451ae-ab5a-474d-9fdd-67e011da83ce.png)

**其中前向通道传递函数：G(s)，反馈通道传递函数：H(s)**

**H(s)=1时，成为单位反馈系统**

**闭环传递函数计算公式：**$ 闭环传递函数=\frac{前向通道传递函数}{1\pm开环传递函数} $**，负反馈取+，正反馈取 - 。**

**闭环传递函数的根：**

    - **全在左半平面，收敛**
    - **全在右半平面，发散**
    - **虚部不为0，振荡，其中若实部为0，则等幅震荡**

**（4）、分支点、相加点前移、后移（理解记忆）**

![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2022/png/29754277/1666702301551-54004a10-da81-4f23-a110-c6ccab438c19.png)

## 6、多输入、多输出

**找准需要的输入和输出量，令其余的输入和输出为0求解闭环传递函数即可。**

# 三、系统的时域分析
## 1、一阶系统典型输入信号（传递函数为$ G(s)=\frac{1}{Ts+1} $）
**（1）、单位抛物线响应**

**输入函数：**$ x_i(t)=\frac{1}{2}t^2，X(s)=\frac{1}{s^3} $

**输出函数：**$ Y(s)=\frac{1}{Ts+1}\frac{1}{s^3}，y(t)=-T^2e^{-\frac{t}{T}}+\frac{t^2}{2}-Tt+T^2 $

**（2）、单位斜坡响应**

**输入函数：**$ x_i(t)=t，X_i(s)=\frac{1}{s^2} $

**输出函数：**$ X_o(s)=\frac{1}{Ts+1}\frac{1}{s^2}，x_o(t)=t-T+Te^{-\frac{t}{T}} $

**（3）、单位阶跃响应（常用）**

**输入函数：**$ x_i(t)=1，X_i(s)=\frac{1}{s} $

**输出函数：**$ X_o(s)=\frac{1}{Ts+1}\frac{1}{s}，x_o(t)=1-e^{-\frac{t}{T}} $

**（4）、单位脉冲响应**

**输入函数：**$ x_i(t)=\delta(t)，X_i(s)=1 $

**输出函数：**$ X_o(s)=\frac{1}{Ts+1}，x_i(t)=\frac{1}{T}e^{-\frac{t}{T}} $

**可以看出，以上四种响应互为导数关系，相对应的输出函数也互为导数关系，在解题中可以利用这一点快速解题。**

## 2、二阶系统典型输入信号
（1）、开环函数称为型，由s的幂决定。如：$ \frac{1}{Ts+1} $<font style="color:rgb(38, 38, 38);">，为I型，对应闭环传函的二阶。</font>

<font style="color:rgb(38, 38, 38);">（2）、二阶系统的典型传函形式：</font>$ G(s)=\frac{1}{k}\frac{\omega_n^2}{s^2+2\xi\omega_n s +\omega_n^2} $<font style="color:rgb(38, 38, 38);">，式中：</font>

$ \frac{1}{k} $——系统增益

$ \xi $——阻尼比

$ \omega_n $——无阻尼自然频率

<font style="color:rgb(38, 38, 38);">（2）、</font><font style="color:#E8323C;">单位阶跃响应（重要）</font>

### <font style="color:rgb(18, 18, 18);">①、</font><font style="color:rgb(38, 38, 38);">特征根为：</font>$ s_{1,2}=-\xi\omega_n\pm\omega_n\sqrt{\xi^2-1} $<font style="color:rgb(38, 38, 38);">，其模为</font>$ \omega_n $
+ 欠阻尼（$ 0<\xi<1 $）

<font style="color:rgb(38, 38, 38);">有一对共轭复根：</font>$ s_{1,2}=-\xi\omega_n\pm j\omega_n\sqrt{\xi^2-1}=-\xi\omega_n\pm j\omega_d $<font style="color:rgb(38, 38, 38);">，其中</font>

$ \omega_d $<font style="color:rgb(38, 38, 38);">——阻尼自然频率，</font>$ \omega_d=\omega_n\sqrt{\xi^2-1} $<font style="color:rgb(38, 38, 38);">，输出函数为：</font>

+ $ \left.x_0(t)=\left[1-\frac{\mathrm{e}^{-\xi \omega_{\mathrm{n}} t}}{\sqrt{1-\xi^2}} \sin \left(\omega_{\mathrm{d}} t+\arctan \frac{\sqrt{1-\xi^2}}{\xi}\right)\right] \cdot 1(t)\right) $<font style="color:#E8323C;">，</font>

<font style="color:#E8323C;">其中</font>$ cos\beta=\xi $<font style="color:#E8323C;">（必背）</font>

$ \xi $越小，振幅衰减地越慢，$ \xi $越大，振幅衰减得越快。

+ 无阻尼（$ \xi=0 $）

输出函数：$ x_o(t)=1-cos\omega_nt $

此时系统以无阻尼自然频率做等幅振荡

+ 临界阻尼（$ \xi=1 $）

系统不再振荡

+ 过阻尼（$ \xi>1 $）

二阶系统蜕变为一阶系统

### <font style="color:rgb(18, 18, 18);">②、时域性能指标</font>
+ 延迟时间$ t_d $：响应从0上升到稳态值的50%所用的时间
+ 上升时间$ t_r $：从0到稳态的时间，也指从稳态的10%到90%所用的时间
+ 峰值时间$ t_p $：从0到第一个峰值的时间
+ 调整时间$ t_s $：响应达到并一直保持在终值$ x_0(\infty)\pm5\% $误差带内或$ x_0(\infty)\pm2\% $误差带内所用的时间
+ 最大超调量$ \sigma_p $：$ \sigma_p=\frac{x_o(t_p)-x_o(\infty)}{x_o(\infty)}\times100\% $
+ 振荡次数N：在调整时间内响应曲线振荡的次数

对二阶系统单位阶跃响应来说：

+ $ t_r=\frac{\pi-\beta}{\omega_d} $
+ $ t_p=\frac{\pi}{\omega_d} $
+ $ \sigma_p=e^{-\xi\omega_n t_p}=e^{-\frac{\xi}{\sqrt{1-\xi^2}}\pi} $
+ $ \Delta=2\%，t_s=\frac{4}{\xi\omega_n}             
 $

$ \Delta=5\%，t_s=\frac{3}{\xi\omega_n}             
 $

+ $ N=[\frac{t_s}{\frac{2\pi}{\omega_d}}] $

# 四、系统的频率特性分析
## 1、频率特性求解
将$ s=j\omega $带入闭环传递函数，得到系统的频率特性。

频率特性分为两种：幅频特性和相频特性，实频特性和虚频特性。

## 2、Nyquist图
画法极其简单，就是将求出的频率特性表达式转换为指数表达式，找出模值和角度，与实轴和虚轴的交点，在极坐标上绘制即可。

注意以下细节：

（1）、在转换为指数表达式时，要将分母上的多项式化为<font style="color:#F5222D;">乘积</font>的形式，并且角度的计算一定要注意<font style="color:#F5222D;">分母上j的幂</font>，即：

![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2022/png/29754277/1666710214483-47ce9afb-1441-4d8a-bc2f-7db9fd168012.png)

此时就不能简单地将j给化简掉。

（2）、求解系统的Nyquist图时，要将分子和分母上的表达式都化为标准形式，即：

比例环节：$ k $

积分环节：$ \frac{1}{s} $

微分环节：$ s $

一阶微分环节：$ 1+Ts $

一阶惯性环节：$ \frac{1}{1+Ts} $

二阶振荡环节：$ \frac{1}{T^2s^2+2\xi Ts+1} $，其幅频和相频的值背下来

<font style="color:#E8323C;">幅频：</font>$ A(\omega)=\frac{1}{\sqrt{(1-T^2\omega^2)^2+(2\xi T\omega )^2}} $

<font style="color:#E8323C;">相频：</font>$ \phi(\omega)=-arctan\frac{2\xi T\omega}{1-T^2\omega^2} $

例：分母上为$ as-1 $，不是标准形式，要将其转换为$ 1-as $，提出的负号加到$ j $的幂上，最后计算角度。

![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2022/png/29754277/1666710593762-e5967515-aa2f-486a-89b1-3e36a3059b94.png)

（3）、一般画图都只画$ 0_+到+\infty $部分，$ -\infty到0_- $部分与之关于实轴对称。

（4）、Nyquist图一定闭合。

## 3、Bode图
$ L(\omega)=20lgA(\omega) $，单位为dB。

横坐标为$ \omega $的值，以$ lg\omega $进行线性分度；纵坐标为$ L(\omega) $和$ \phi(\omega) $，分开画两个图。

（1）、斜率为$ lgA(\omega) $前的系数，单位为：dB/oct或dB/dec

（2）、幅频特性曲线应用折线近似曲线

（3）、求解系统的Bode图时，

+ 应将分子、分母上的函数化为标准形式

比例环节：$ k
 $

积分环节：$ \frac{1}{s} $

惯性环节：$ \frac{1}{1+Ts} $，转折频率处相角为-45°

一阶微分环节：$ 1+Ts $，转折频率处<font style="color:rgb(38, 38, 38);">相角</font>为45°

二阶振荡环节：$ \frac{1}{T^2s^2+2\xi Ts+1} $，将其幅频和相频背下

<font style="color:#E8323C;">幅频：</font>$ A(\omega)=\frac{1}{\sqrt{(1-T^2\omega^2)^2+(2\xi T\omega )^2}} $

<font style="color:#E8323C;">相频：</font>$ \phi(\omega)=-arctan\frac{2\xi T\omega}{1-T^2\omega^2} $<font style="color:#E8323C;">，</font>转折频率处相角为-90°

$ \omega\ll\omega_n:L(\omega)=0
\\\omega\gg\omega_n:L(\omega)=-40lg(\frac{\omega}{\omega_n}) $

延迟环节：$ e^{-j\tau \omega} $

+ 系统的幅频特性为各典型环节幅频特性折线叠加而成，例：

![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2022/jpeg/29754277/1666777256839-17e1b4a5-1da4-4f2a-a844-e70a23275bc9.jpeg?x-oss-process=image%2Fresize%2Cw_937%2Climit_0)

绘制出的Bode图为：

![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2022/png/29754277/1666777298711-55d839fc-4955-4b8f-9fe7-266182d4d2da.png)

（4）、由Bode图求解系统的传递函数

<font style="color:rgb(18, 18, 18);">①、应该将比例环节、积分环节、微分环节、一阶惯性环节、一阶微分环节，二阶微分环节、二阶振荡环节的的幅频特性图和相频特性图</font><font style="color:#E8323C;">熟记，</font>然后根据题目给出的Bode图列出相应的带参传递函数方程进行求解。

<font style="color:rgb(18, 18, 18);">②、小结论</font>

+ 三种频率

无阻尼自然频率（转折频率）：$ \omega_n $

阻尼自然频率：$ \omega_d $

峰值频率（谐振频率）：$ \omega_m $

三者之间的关系为：$ \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\xi^2}\\\omega_m=\omega_n\sqrt{1-2\xi^2} $

+ 对于振荡环节，各种频率下对应的幅值：

$ \omega_n $——$ A(\omega)=\frac{1}{2\xi} $

$ \omega_m $——$ A(\omega)=\frac{1}{2\xi\sqrt{1-\xi^2}} $

（5）、Bode图幅频图的高、中、低频

<font style="color:rgb(18, 18, 18);">①、低频段（</font>$ 0\leq\omega\leq\omega_1 $<font style="color:rgb(18, 18, 18);">，其中</font>$ \omega_1 $<font style="color:rgb(18, 18, 18);">为第一个转折频率）</font>

<font style="color:rgb(18, 18, 18);">描述了系统的稳态误差，低频段斜率越陡（即：开环增益越大，积分环节数越多），系统的稳态误差越小。</font>

<font style="color:rgb(18, 18, 18);">②、中频段（</font>$ \omega_c $<font style="color:rgb(18, 18, 18);">附近）</font>

<font style="color:rgb(18, 18, 18);">描述了系统的稳定性，中频段以-20dB/dec穿越0dB线，系统稳定；</font>

<font style="color:rgb(18, 18, 18);">中频段越宽，系统的稳定性越好</font>

<font style="color:rgb(18, 18, 18);">③、高频段（</font>$ \omega>10\omega_c $<font style="color:rgb(18, 18, 18);">）</font>

<font style="color:rgb(18, 18, 18);">描述系统的高频抗干扰能力，斜率越陡，抗干扰能力越强</font>

## <font style="color:rgb(18, 18, 18);">4、最小相位系统的判断方法：</font>
<font style="color:rgb(18, 18, 18);">①、传递函数的极点或零点的实部≤0，即：</font>

<font style="color:rgb(18, 18, 18);"> 	</font>$ \frac{K(T_3s+1)}{(T_1s+1)(T_2s+1)} $<font style="color:rgb(18, 18, 18);">，当</font>$ K,T_1,T_2,T_3 $<font style="color:rgb(18, 18, 18);">均为正数时，该系统为最小相位系统</font>

<font style="color:rgb(18, 18, 18);">②、当</font>$ \omega \rightarrow \infty $<font style="color:rgb(18, 18, 18);">，幅频特性的渐近线斜率为：</font>$ 20(n-m)dB/dec $<font style="color:rgb(18, 18, 18);">，相角为：</font>$ 90°(n-m) $<font style="color:rgb(18, 18, 18);">。（其中</font>$ n $<font style="color:rgb(18, 18, 18);">为分母阶数，</font>$ m $<font style="color:rgb(18, 18, 18);">为分子阶数）</font>

## <font style="color:rgb(18, 18, 18);">5、由开环传递函数求解剪切频率的方法：</font>
方法一：画出Bode图，根据图形判断剪切频率在哪一段上，然后令该段的$ L(\omega)=0 $，算出$ \omega_c $

方法二：直接令开环传递函数的模值$ A(\omega)=1 $，然后判断是哪些部分在起作用，起作用的部分将1换为0，不起作用的部分令$ \omega=0 $，然后计算$ \omega_c $。

# 五、系统稳定性的判断
几个概念：

+ 开环传递函数：$ G_K(s)=G(s)H(s) $
+ 闭环传递函数：$ G_B(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} $
+ 闭环特征多项式：$ F(s)=1+G(s)H(s) $
+ 闭环特征方程：$ F(s)=0 $

## 1、系统稳定性的充要条件
$ F(s)=0 $的根具有负实部，即$ G_B(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} $的极点全部在左半平面

## 2、Routh判据（代数判据）
写出Routh阵列，观察第一列的元素

<font style="color:rgb(18, 18, 18);">①、若第一列系数均为正，则系统稳定</font>

<font style="color:rgb(18, 18, 18);">②、若第一列系数有0，且0所在的行存在非0系数，则看系数改变符号次数，改变几次，就有几个正实根，此时系统不稳定</font>

![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2022/jpeg/29754277/1667801325178-07ee2f3a-f561-4f08-a2c7-db2c3bd6ff47.jpeg?x-oss-process=image%2Fresize%2Cw_843%2Climit_0%2Finterlace%2C1)

<font style="color:rgb(18, 18, 18);">③、若第一列系数有0，且0所在的行全为0，则该系统处于临界稳定状态，由其上一行写出辅助方程帮助判定。</font>

![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2022/jpeg/29754277/1667801421343-c7fe9d2e-cd2c-4809-86ea-c5c6190c9f08.jpeg?x-oss-process=image%2Fresize%2Cw_843%2Climit_0%2Finterlace%2C1)

## 3、Nyquist判据（几何判据）
![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2022/jpeg/29754277/1667801662381-5aeb6e2e-d171-4a62-b6ce-8f64aca565ff.jpeg?x-oss-process=image%2Fresize%2Cw_843%2Climit_0%2Finterlace%2C1)



系统稳定的充要条件是$ G_B(s) $的全部极点具有负实部，即$ F_(s) $的全部零点具有负实部。

解题步骤：

（1）、判断开环传递函数在右平面的极点个数P 

（2）、画出开环传递函数的Nyquist图，观察其包围（-1，0j）点的逆时针选转圈数N

（3）、P=N，稳定；P≠N，不稳定

### 特殊情况：在虚轴上或原点处有极点，此时$ \Gamma_s $的画法如下：
![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2022/jpeg/29754277/1668585583540-649cf1e2-d0d0-4ddb-9a61-4ca87fde2118.jpeg)

此时对应的令$ s=\epsilon e^{j\theta}或s=\pm\omega_n+\epsilon e^{j\theta} $代入G(s)，令$ \epsilon \to 0 $，求出G(s)的Nyquist角度变化，然后再按照解题步骤求解。

## 4、Bode稳定判据（几何判据）
1、Bode图与Nyquist图的对应关系

![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2022/png/29754277/1668586229792-c67670b8-a409-4e69-a63e-99ceb4b90269.png)

2、稳定判据：

<font style="color:rgb(18, 18, 18);">①、</font>利用$ \omega_g>\omega_c $

当$ \omega_g=\omega_c $时，系统临界稳定

<font style="color:rgb(18, 18, 18);">②、相角裕度大于0</font>

$ \gamma=180^\circ+\psi(\omega_c) $<font style="color:rgb(18, 18, 18);">  </font>

<font style="color:rgb(18, 18, 18);">③、幅值裕度大于0</font>

$ K_g=\frac{1}{A(\omega_g)} $

![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2022/jpeg/29754277/1668586655506-e93210ad-6d2d-43f6-9c70-f9fccb627a56.jpeg)

## 注意：在<font style="color:#DF2A3F;">分析系统稳定性</font>的时候，若开环传递函数具有相同的零点与极点，则此等相同的零点与极点绝对不能相消。
例：![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2023/jpeg/29754277/1676184803777-0cf634da-c600-4d1a-95d6-315d165143db.jpeg)



# 六、误差
## 1、误差和偏差信号之间的关系：$ \varepsilon(s)=H(s)E(s) $
## 2、稳态误差，稳态偏差
由中值定理，$ e_{ss}=\lim_{t \to \infty}e(t)=\lim_{s \to 0}sE(s)\\\varepsilon_{ss}=\lim_{t \to \infty}\varepsilon(t)=\lim_{s \to 0}s\varepsilon(s) $

## 3、计算稳态误差的步骤：
<font style="color:rgb(18, 18, 18);">①、判定系统是否稳定</font>

<font style="color:rgb(18, 18, 18);">②、求误差传递函数</font>

+ 由输入控制信号引起的误差
+ 由干扰函数引起的误差

<font style="color:rgb(18, 18, 18);">③、用终值定理求解</font>

_**<font style="color:rgb(18, 18, 18);">注意</font>**_<font style="color:rgb(18, 18, 18);">：计算正弦类信号作用下的系统的稳态误差时，由于这时的</font>$ sE(s) $<font style="color:rgb(18, 18, 18);">在</font>$ s $<font style="color:rgb(18, 18, 18);">平面右半部及虚轴上不解析，从而不符合</font>$ sE(s) $<font style="color:rgb(18, 18, 18);">的极点必须全部分布在</font>$ s $<font style="color:rgb(18, 18, 18);">平面左半部的条件，所以不能用终值定理求解。</font>

## 4、静态误差系数
<font style="color:rgb(18, 18, 18);">①、阶跃（位置）输入信号：</font>$ K_p=\lim_{s \to o}G(s)H(s) $

<font style="color:rgb(18, 18, 18);">②、斜坡（速度）输入信号：</font>$ K_v=\lim_{s \to o}sG(s)H(s) $

<font style="color:rgb(18, 18, 18);">③、加速度输入信号：</font>$ K_a=\lim_{s \to o}s^2G(s)H(s) $

![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2022/jpeg/29754277/1669007612753-1ea9914c-1037-4ba3-8854-ec32fe55100a.jpeg)       

控制作用和扰动作用同时存在时判断系统型别的原则：

       对控制作用来说，观察其前向通道所含串联积分环节的数目，有几个串联积分环节，就是几型系统。
    
       对扰动作用来说，系统的型别由反馈通道所含串联积分环节数目决定。

## 5、减小稳态误差的途径
<font style="color:rgb(18, 18, 18);">①、对于输入引起的误差</font>

+ 增大系统开环放大倍数
+ 提高系统型次

<font style="color:rgb(18, 18, 18);">②、对于干扰引起的误差</font>

+ <font style="color:rgb(18, 18, 18);">在系统</font>前向通道<font style="color:#DF2A3F;">干扰点前</font>加积分
+ <font style="color:rgb(18, 18, 18);">在系统</font>前向通道<font style="color:#DF2A3F;">干扰点前</font>增大放大倍数

![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2022/jpeg/29754277/1669008054638-080214d7-7027-41df-b7f1-3521b5417fd9.jpeg)   ![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2022/jpeg/29754277/1669008050482-70580cf9-6c2d-4661-8e0d-04f62806fa12.jpeg)

如上图，在干扰点前加入积分环节，稳态误差变为0

<font style="color:rgb(18, 18, 18);">③、按干扰补偿</font>

![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2022/jpeg/29754277/1669195103535-b45ed5bc-a08b-4cf4-bc18-b7bd34fc663e.jpeg)

<font style="color:rgb(18, 18, 18);"> </font>$ G_n(s)=-\frac{1}{G_1(s)} $

<font style="color:rgb(18, 18, 18);">④、按输入补偿</font>

![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2022/jpeg/29754277/1669195146965-26e41122-7d54-4cfb-b26b-a0d7cb0acd17.jpeg)

$ G_r(s)=\frac{1}{G(s)} $

## 6、动态误差
就相当于把误差传递函数泰勒展开，然后代入即可

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# 七、机电控制系统的校正
## 1、相位超前校正（裕度不够用超前校正）
$ G_c(s)=\frac{Ts+1}{\alpha Ts+1}(0<\alpha<1) $

### 三个重要公式
最大超前相角频率：$ \omega_m=\frac{1}{T\sqrt{\alpha}} $

最大相角频率对应的幅值：$ L_m=-10lg\alpha $

最大超前相角：$ sin\varphi_m=\frac{1-\alpha}{1 +\alpha} $

$ \alpha\geq0.05 $

### 求解步骤
### （1）、已知$ e_{ss}、\gamma、L $
<font style="color:rgb(18, 18, 18);">①、根据给定的</font>$ e_{ss} $<font style="color:rgb(18, 18, 18);">，确定系统的开环增益</font>$ k=\frac{1}{e_{ss}} $

<font style="color:rgb(18, 18, 18);">②、根据给定的</font>$ \gamma $<font style="color:rgb(18, 18, 18);">、</font>$ \gamma_1 $<font style="color:rgb(18, 18, 18);">，确定期望增加的相角为</font>$ \varphi=\gamma-\gamma_1+\Delta\varphi $<font style="color:rgb(18, 18, 18);">，</font>$ \Delta\varphi=5\sim10^\circ $<font style="color:rgb(18, 18, 18);">，</font>$ \varphi_m=\varphi $

<font style="color:rgb(18, 18, 18);">③、根据公式</font>$ sin\varphi_m=\frac{1-\alpha}{1 +\alpha} $<font style="color:rgb(18, 18, 18);">，确定</font>$ \alpha $

<font style="color:rgb(18, 18, 18);">④、根据公式</font>$ L_m=-10lg\alpha $<font style="color:rgb(18, 18, 18);">，确定</font>$ L_m $

<font style="color:rgb(18, 18, 18);">⑤、根据原系统在</font>$ \omega_m $<font style="color:rgb(18, 18, 18);">处的幅值</font>$ L_1=L_m $<font style="color:rgb(18, 18, 18);">，确定校正后的剪切频率</font>$ \omega_c $<font style="color:rgb(18, 18, 18);">，且令</font>$ \omega_m=\omega_c $

<font style="color:rgb(18, 18, 18);">⑥、根据公式</font>$ \omega_m=\frac{1}{T\sqrt{\alpha}} $<font style="color:rgb(18, 18, 18);">确定</font>$ T $

<font style="color:rgb(18, 18, 18);">⑦、校正之后的传递函数：</font>$ G(s)=G_0(s)G_c(s) $

各参数物理含义：

+ $ e_{ss} $：给定的稳态误差
+ $ \gamma $：给定的相角裕度
+ $ L $：给定的幅值裕度
+ $ \gamma_1 $：原系统的相角裕度
+ $ L_1 $：给定的幅值

### （2）、已知$ e_{ss}、\gamma、L、\omega_c $
<font style="color:rgb(18, 18, 18);">①、根据给定的</font>$ e_{ss} $<font style="color:rgb(18, 18, 18);">，确定系统的开环增益</font>$ k=\frac{1}{e_{ss}} $

<font style="color:rgb(18, 18, 18);">②、计算原系统在</font>$ \omega_c $<font style="color:rgb(18, 18, 18);">处的幅值</font>$ L_1(\omega_c) $<font style="color:rgb(18, 18, 18);">，并令校正后系统剪切频率在</font>$ \omega_c $<font style="color:rgb(18, 18, 18);">，则根据公式</font>$ L_c(\omega_c)=-L_1(\omega_c)=20lg\omega_c+20lgT $<font style="color:rgb(18, 18, 18);">，确定</font>$ T $

<font style="color:rgb(18, 18, 18);">③、若</font>$ \omega_c=\omega_m $<font style="color:rgb(18, 18, 18);">，则根据公式</font>$ \omega_c=\omega_m=\frac{1}{T\sqrt{\alpha}} $<font style="color:rgb(18, 18, 18);">确定</font>$ \alpha $<font style="color:rgb(18, 18, 18);">；</font>

否则，计算增加的相角为：$ \varphi=\gamma(\omega_c)-\gamma_1(\omega_c) $，然后根据公式$ \varphi=arctan\frac{(1-\alpha)T\omega_c}{1+\alpha(T\omega_c)^2} $，确定$ \alpha $

各参数物理含义：

+ $ e_{ss} $：给定的稳态误差
+ $ \gamma $：给定的相角裕度
+ $ L $：给定的幅值裕度
+ $ \omega_c $：给定的剪切频率
+ $ \gamma_1 $：原系统的相角裕度
+ $ L_1 $：给定的幅值

## 2、相位滞后校正（系统不稳定用滞后校正）
$ G_c(s)=\frac{Ts+1}{\beta Ts+1}=\frac{\frac{1}{\omega_T}s+1}{\frac{1}{\omega_P}s+1}(\beta>1) $

### 求解步骤：已知$ e_{ss}、\gamma、L $
<font style="color:rgb(18, 18, 18);">①、根据给定的</font>$ e_{ss} $<font style="color:rgb(18, 18, 18);">，确定系统的开环增益</font>$ k=\frac{1}{e_{ss}} $

<font style="color:rgb(18, 18, 18);">②、计算原系统相角裕度</font>$ \gamma_1(\omega_c)=\gamma $<font style="color:rgb(18, 18, 18);">，确定</font>$ \omega_c $

<font style="color:rgb(18, 18, 18);">③、根据</font>$ \frac{\omega_c}{\omega_T}=5\sim10 $<font style="color:rgb(18, 18, 18);">，确定</font>$ \omega_T $

<font style="color:rgb(18, 18, 18);">④、计算原系统的幅值</font>$ L_1(\omega_c) $<font style="color:rgb(18, 18, 18);">，并令</font>$ L_c(\omega_c)=L_c(\omega_T)=-L_1(\omega_c)=20lg\frac{1}{\beta} $<font style="color:rgb(18, 18, 18);">，确定</font>$ \beta $

各参数物理含义：

+ $ e_{ss} $：给定的稳态误差
+ $ \gamma $：给定的相角裕度
+ $ L $：给定的幅值裕度
+ $ \gamma_1 $：原系统的相角裕度
+ $ L_1 $：给定的幅值





