# 本课程主要研究模型和三态（稳、准、快）
# 一、微分方程的建立要点
## 1、对于有质量的物体系统，物体两侧位移相等；
## 对于无质量的物体理想系统，某点两侧受力相等。
## 2、齿轮的传动比
**i = z1/z2，减速比为1/i，多级传动中各参数折算到输入轴公式：**
$ J_{le} = J_1+i^2J_2——折算到输入轴上的转动惯量 $
$ B_{le}=B_1+i^2B_2——折算到输入轴上的阻尼系数 $
$ M_{0e}=iM_0(t)——折算到输入轴上的负载转矩 $
## 3、直流电机开环机械特性
$ n=\frac{U_d-I_d R_{\varepsilon}}{C_e}，其中C_e为反电动势系数 $
**对于步进电机来说，先接定子，再接转子。**
# 二、传递函数
## 1、要注意是在零初始条件下，输出比输入
**零初始条件的含义：**
**（1）、系统输入量及其各阶导数在t=0时的值为0。**
**（2）、系统输出量及其各阶导数在t=0时的值为0。**
## 2、建立传递函数的要点
**（1）、对微分方程取拉式变换**
**（2）、一定要注意是输出比输入**
## 3、传递函数的标准形式
$ G(s)=\frac{X_b(s)}{X_i(s)}=\frac{K_{i=1}^n\left(s-z_j\right)}{\prod_{i=1}^m\left(s-p_i\right)}=\frac{K^{\prime}\left(s-z_1\right)\left(s-z_2\right) \cdots\left(s-z_m\right)}{\left(s-p_1\right)\left(s-p_2\right) \cdots\left(s-p_n\right)} $，**其中Xb(s)=0的根为零点，影响瞬态响应曲线的形状，不影响稳定性。Xi(s)=0的根为极点，影响系统稳定性。**
## 4、典型环节的传递函数
## 5、方框图的等效转换和简化
**（1）、串联环节等效转换**
**（2）、并联环节等效转换**
**（3）、反馈环节等效转换**
**其中前向通道传递函数：G(s)，反馈通道传递函数：H(s)**
**H(s)=1时，成为单位反馈系统**
**闭环传递函数计算公式：**$ 闭环传递函数=\frac{前向通道传递函数}{1\pm开环传递函数} $**，负反馈取+，正反馈取 - 。**
**闭环传递函数的根：**
- **全在左半平面，收敛**
- **全在右半平面，发散**
- **虚部不为0，振荡，其中若实部为0，则等幅震荡**
**（4）、分支点、相加点前移、后移（理解记忆）**
## 6、多输入、多输出
**找准需要的输入和输出量，令其余的输入和输出为0求解闭环传递函数即可。**
# 三、系统的时域分析
## 1、一阶系统典型输入信号（传递函数为$ G(s)=\frac{1}{Ts+1} $）
**（1）、单位抛物线响应**
**输入函数：**$ x_i(t)=\frac{1}{2}t^2，X(s)=\frac{1}{s^3} $
**输出函数：**$ Y(s)=\frac{1}{Ts+1}\frac{1}{s^3}，y(t)=-T^2e^{-\frac{t}{T}}+\frac{t^2}{2}-Tt+T^2 $
**（2）、单位斜坡响应**
**输入函数：**$ x_i(t)=t，X_i(s)=\frac{1}{s^2} $
**输出函数：**$ X_o(s)=\frac{1}{Ts+1}\frac{1}{s^2}，x_o(t)=t-T+Te^{-\frac{t}{T}} $
**（3）、单位阶跃响应（常用）**
**输入函数：**$ x_i(t)=1，X_i(s)=\frac{1}{s} $
**输出函数：**$ X_o(s)=\frac{1}{Ts+1}\frac{1}{s}，x_o(t)=1-e^{-\frac{t}{T}} $
**（4）、单位脉冲响应**
**输入函数：**$ x_i(t)=\delta(t)，X_i(s)=1 $
**输出函数：**$ X_o(s)=\frac{1}{Ts+1}，x_i(t)=\frac{1}{T}e^{-\frac{t}{T}} $
**可以看出，以上四种响应互为导数关系，相对应的输出函数也互为导数关系，在解题中可以利用这一点快速解题。**
## 2、二阶系统典型输入信号
（1）、开环函数称为型，由s的幂决定。如：$ \frac{1}{Ts+1} $，为I型，对应闭环传函的二阶。
（2）、二阶系统的典型传函形式：$ G(s)=\frac{1}{k}\frac{\omega_n^2}{s^2+2\xi\omega_n s +\omega_n^2} $，式中：
$ \frac{1}{k} $——系统增益
$ \xi $——阻尼比
$ \omega_n $——无阻尼自然频率
（2）、单位阶跃响应（重要）
### ①、特征根为：$ s_{1,2}=-\xi\omega_n\pm\omega_n\sqrt{\xi^2-1} $，其模为$ \omega_n $
+ 欠阻尼（$ 0<\xi<1 $）
有一对共轭复根：$ s_{1,2}=-\xi\omega_n\pm j\omega_n\sqrt{\xi^2-1}=-\xi\omega_n\pm j\omega_d $，其中
$ \omega_d $——阻尼自然频率，$ \omega_d=\omega_n\sqrt{\xi^2-1} $，输出函数为：
+ $ \left.x_0(t)=\left[1-\frac{\mathrm{e}^{-\xi \omega_{\mathrm{n}} t}}{\sqrt{1-\xi^2}} \sin \left(\omega_{\mathrm{d}} t+\arctan \frac{\sqrt{1-\xi^2}}{\xi}\right)\right] \cdot 1(t)\right) $，
其中$ cos\beta=\xi $（必背）
$ \xi $越小，振幅衰减地越慢，$ \xi $越大，振幅衰减得越快。
+ 无阻尼（$ \xi=0 $）
输出函数：$ x_o(t)=1-cos\omega_nt $
此时系统以无阻尼自然频率做等幅振荡
+ 临界阻尼（$ \xi=1 $）
系统不再振荡
+ 过阻尼（$ \xi>1 $）
二阶系统蜕变为一阶系统
### ②、时域性能指标
+ 延迟时间$ t_d $：响应从0上升到稳态值的50%所用的时间
+ 上升时间$ t_r $：从0到稳态的时间，也指从稳态的10%到90%所用的时间
+ 峰值时间$ t_p $：从0到第一个峰值的时间
+ 调整时间$ t_s $：响应达到并一直保持在终值$ x_0(\infty)\pm5\% $误差带内或$ x_0(\infty)\pm2\% $误差带内所用的时间
+ 最大超调量$ \sigma_p $：$ \sigma_p=\frac{x_o(t_p)-x_o(\infty)}{x_o(\infty)}\times100\% $
+ 振荡次数N：在调整时间内响应曲线振荡的次数
对二阶系统单位阶跃响应来说：
+ $ t_r=\frac{\pi-\beta}{\omega_d} $
+ $ t_p=\frac{\pi}{\omega_d} $
+ $ \sigma_p=e^{-\xi\omega_n t_p}=e^{-\frac{\xi}{\sqrt{1-\xi^2}}\pi} $
+ $ \Delta=2\%，t_s=\frac{4}{\xi\omega_n}
$
$ \Delta=5\%，t_s=\frac{3}{\xi\omega_n}
$
+ $ N=[\frac{t_s}{\frac{2\pi}{\omega_d}}] $
# 四、系统的频率特性分析
## 1、频率特性求解
将$ s=j\omega $带入闭环传递函数，得到系统的频率特性。
频率特性分为两种：幅频特性和相频特性，实频特性和虚频特性。
## 2、Nyquist图
画法极其简单，就是将求出的频率特性表达式转换为指数表达式，找出模值和角度，与实轴和虚轴的交点，在极坐标上绘制即可。
注意以下细节：
（1）、在转换为指数表达式时，要将分母上的多项式化为乘积的形式，并且角度的计算一定要注意分母上j的幂，即：
此时就不能简单地将j给化简掉。
（2）、求解系统的Nyquist图时，要将分子和分母上的表达式都化为标准形式，即：
比例环节：$ k $
积分环节：$ \frac{1}{s} $
微分环节：$ s $
一阶微分环节：$ 1+Ts $
一阶惯性环节：$ \frac{1}{1+Ts} $
二阶振荡环节：$ \frac{1}{T^2s^2+2\xi Ts+1} $，其幅频和相频的值背下来
幅频：$ A(\omega)=\frac{1}{\sqrt{(1-T^2\omega^2)^2+(2\xi T\omega )^2}} $
相频：$ \phi(\omega)=-arctan\frac{2\xi T\omega}{1-T^2\omega^2} $
例：分母上为$ as-1 $，不是标准形式，要将其转换为$ 1-as $，提出的负号加到$ j $的幂上，最后计算角度。
（3）、一般画图都只画$ 0_+到+\infty $部分，$ -\infty到0_- $部分与之关于实轴对称。
（4）、Nyquist图一定闭合。
## 3、Bode图
$ L(\omega)=20lgA(\omega) $，单位为dB。
横坐标为$ \omega $的值，以$ lg\omega $进行线性分度；纵坐标为$ L(\omega) $和$ \phi(\omega) $，分开画两个图。
（1）、斜率为$ lgA(\omega) $前的系数，单位为：dB/oct或dB/dec
（2）、幅频特性曲线应用折线近似曲线
（3）、求解系统的Bode图时，
+ 应将分子、分母上的函数化为标准形式
比例环节：$ k
$
积分环节：$ \frac{1}{s} $
惯性环节：$ \frac{1}{1+Ts} $，转折频率处相角为-45°
一阶微分环节：$ 1+Ts $，转折频率处相角为45°
二阶振荡环节：$ \frac{1}{T^2s^2+2\xi Ts+1} $，将其幅频和相频背下
幅频：$ A(\omega)=\frac{1}{\sqrt{(1-T^2\omega^2)^2+(2\xi T\omega )^2}} $
相频：$ \phi(\omega)=-arctan\frac{2\xi T\omega}{1-T^2\omega^2} $，转折频率处相角为-90°
$ \omega\ll\omega_n:L(\omega)=0
\\\omega\gg\omega_n:L(\omega)=-40lg(\frac{\omega}{\omega_n}) $
延迟环节：$ e^{-j\tau \omega} $
+ 系统的幅频特性为各典型环节幅频特性折线叠加而成，例：
绘制出的Bode图为：
（4）、由Bode图求解系统的传递函数
①、应该将比例环节、积分环节、微分环节、一阶惯性环节、一阶微分环节，二阶微分环节、二阶振荡环节的的幅频特性图和相频特性图熟记，然后根据题目给出的Bode图列出相应的带参传递函数方程进行求解。
②、小结论
+ 三种频率
无阻尼自然频率（转折频率）：$ \omega_n $
阻尼自然频率：$ \omega_d $
峰值频率（谐振频率）：$ \omega_m $
三者之间的关系为：$ \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\xi^2}\\\omega_m=\omega_n\sqrt{1-2\xi^2} $
+ 对于振荡环节，各种频率下对应的幅值：
$ \omega_n $——$ A(\omega)=\frac{1}{2\xi} $
$ \omega_m $——$ A(\omega)=\frac{1}{2\xi\sqrt{1-\xi^2}} $
（5）、Bode图幅频图的高、中、低频
①、低频段（$ 0\leq\omega\leq\omega_1 $，其中$ \omega_1 $为第一个转折频率）
描述了系统的稳态误差，低频段斜率越陡（即：开环增益越大，积分环节数越多），系统的稳态误差越小。
②、中频段（$ \omega_c $附近）
描述了系统的稳定性，中频段以-20dB/dec穿越0dB线，系统稳定；
中频段越宽，系统的稳定性越好
③、高频段（$ \omega>10\omega_c $）
描述系统的高频抗干扰能力，斜率越陡，抗干扰能力越强
## 4、最小相位系统的判断方法：
①、传递函数的极点或零点的实部≤0，即：
$ \frac{K(T_3s+1)}{(T_1s+1)(T_2s+1)} $，当$ K,T_1,T_2,T_3 $均为正数时，该系统为最小相位系统
②、当$ \omega \rightarrow \infty $，幅频特性的渐近线斜率为：$ 20(n-m)dB/dec $，相角为：$ 90°(n-m) $。（其中$ n $为分母阶数，$ m $为分子阶数）
## 5、由开环传递函数求解剪切频率的方法：
方法一：画出Bode图，根据图形判断剪切频率在哪一段上，然后令该段的$ L(\omega)=0 $，算出$ \omega_c $
方法二：直接令开环传递函数的模值$ A(\omega)=1 $，然后判断是哪些部分在起作用，起作用的部分将1换为0，不起作用的部分令$ \omega=0 $，然后计算$ \omega_c $。
# 五、系统稳定性的判断
几个概念：
+ 开环传递函数：$ G_K(s)=G(s)H(s) $
+ 闭环传递函数：$ G_B(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} $
+ 闭环特征多项式：$ F(s)=1+G(s)H(s) $
+ 闭环特征方程：$ F(s)=0 $
## 1、系统稳定性的充要条件
$ F(s)=0 $的根具有负实部，即$ G_B(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} $的极点全部在左半平面
## 2、Routh判据（代数判据）
写出Routh阵列，观察第一列的元素
①、若第一列系数均为正，则系统稳定
②、若第一列系数有0，且0所在的行存在非0系数，则看系数改变符号次数，改变几次，就有几个正实根，此时系统不稳定
③、若第一列系数有0，且0所在的行全为0，则该系统处于临界稳定状态，由其上一行写出辅助方程帮助判定。
## 3、Nyquist判据（几何判据）
系统稳定的充要条件是$ G_B(s) $的全部极点具有负实部，即$ F_(s) $的全部零点具有负实部。
解题步骤：
（1）、判断开环传递函数在右平面的极点个数P
（2）、画出开环传递函数的Nyquist图，观察其包围（-1，0j）点的逆时针选转圈数N
（3）、P=N，稳定；P≠N，不稳定
### 特殊情况：在虚轴上或原点处有极点，此时$ \Gamma_s $的画法如下：
此时对应的令$ s=\epsilon e^{j\theta}或s=\pm\omega_n+\epsilon e^{j\theta} $代入G(s)，令$ \epsilon \to 0 $，求出G(s)的Nyquist角度变化，然后再按照解题步骤求解。
## 4、Bode稳定判据（几何判据）
1、Bode图与Nyquist图的对应关系
2、稳定判据：
①、利用$ \omega_g>\omega_c $
当$ \omega_g=\omega_c $时，系统临界稳定
②、相角裕度大于0
$ \gamma=180^\circ+\psi(\omega_c) $
③、幅值裕度大于0
$ K_g=\frac{1}{A(\omega_g)} $
## 注意：在分析系统稳定性的时候，若开环传递函数具有相同的零点与极点，则此等相同的零点与极点绝对不能相消。
例：
# 六、误差
## 1、误差和偏差信号之间的关系：$ \varepsilon(s)=H(s)E(s) $
## 2、稳态误差，稳态偏差
由中值定理，$ e_{ss}=\lim_{t \to \infty}e(t)=\lim_{s \to 0}sE(s)\\\varepsilon_{ss}=\lim_{t \to \infty}\varepsilon(t)=\lim_{s \to 0}s\varepsilon(s) $
## 3、计算稳态误差的步骤：
①、判定系统是否稳定
②、求误差传递函数
+ 由输入控制信号引起的误差
+ 由干扰函数引起的误差
③、用终值定理求解
_**注意**_：计算正弦类信号作用下的系统的稳态误差时，由于这时的$ sE(s) $在$ s $平面右半部及虚轴上不解析，从而不符合$ sE(s) $的极点必须全部分布在$ s $平面左半部的条件，所以不能用终值定理求解。
## 4、静态误差系数
①、阶跃（位置）输入信号：$ K_p=\lim_{s \to o}G(s)H(s) $
②、斜坡（速度）输入信号：$ K_v=\lim_{s \to o}sG(s)H(s) $
③、加速度输入信号：$ K_a=\lim_{s \to o}s^2G(s)H(s) $
控制作用和扰动作用同时存在时判断系统型别的原则：
对控制作用来说，观察其前向通道所含串联积分环节的数目，有几个串联积分环节，就是几型系统。
对扰动作用来说，系统的型别由反馈通道所含串联积分环节数目决定。
## 5、减小稳态误差的途径
①、对于输入引起的误差
+ 增大系统开环放大倍数
+ 提高系统型次
②、对于干扰引起的误差
+ 在系统前向通道干扰点前加积分
+ 在系统前向通道干扰点前增大放大倍数
 
如上图，在干扰点前加入积分环节，稳态误差变为0
③、按干扰补偿
$ G_n(s)=-\frac{1}{G_1(s)} $
④、按输入补偿
$ G_r(s)=\frac{1}{G(s)} $
## 6、动态误差
就相当于把误差传递函数泰勒展开，然后代入即可
# 七、机电控制系统的校正
## 1、相位超前校正（裕度不够用超前校正）
$ G_c(s)=\frac{Ts+1}{\alpha Ts+1}(0<\alpha<1) $
### 三个重要公式
最大超前相角频率：$ \omega_m=\frac{1}{T\sqrt{\alpha}} $
最大相角频率对应的幅值：$ L_m=-10lg\alpha $
最大超前相角：$ sin\varphi_m=\frac{1-\alpha}{1 +\alpha} $
$ \alpha\geq0.05 $
### 求解步骤
### （1）、已知$ e_{ss}、\gamma、L $
①、根据给定的$ e_{ss} $，确定系统的开环增益$ k=\frac{1}{e_{ss}} $
②、根据给定的$ \gamma $、$ \gamma_1 $，确定期望增加的相角为$ \varphi=\gamma-\gamma_1+\Delta\varphi $，$ \Delta\varphi=5\sim10^\circ $，$ \varphi_m=\varphi $
③、根据公式$ sin\varphi_m=\frac{1-\alpha}{1 +\alpha} $，确定$ \alpha $
④、根据公式$ L_m=-10lg\alpha $，确定$ L_m $
⑤、根据原系统在$ \omega_m $处的幅值$ L_1=L_m $，确定校正后的剪切频率$ \omega_c $，且令$ \omega_m=\omega_c $
⑥、根据公式$ \omega_m=\frac{1}{T\sqrt{\alpha}} $确定$ T $
⑦、校正之后的传递函数：$ G(s)=G_0(s)G_c(s) $
各参数物理含义：
+ $ e_{ss} $：给定的稳态误差
+ $ \gamma $：给定的相角裕度
+ $ L $：给定的幅值裕度
+ $ \gamma_1 $：原系统的相角裕度
+ $ L_1 $：给定的幅值
### （2）、已知$ e_{ss}、\gamma、L、\omega_c $
①、根据给定的$ e_{ss} $，确定系统的开环增益$ k=\frac{1}{e_{ss}} $
②、计算原系统在$ \omega_c $处的幅值$ L_1(\omega_c) $，并令校正后系统剪切频率在$ \omega_c $，则根据公式$ L_c(\omega_c)=-L_1(\omega_c)=20lg\omega_c+20lgT $，确定$ T $
③、若$ \omega_c=\omega_m $，则根据公式$ \omega_c=\omega_m=\frac{1}{T\sqrt{\alpha}} $确定$ \alpha $；
否则，计算增加的相角为：$ \varphi=\gamma(\omega_c)-\gamma_1(\omega_c) $，然后根据公式$ \varphi=arctan\frac{(1-\alpha)T\omega_c}{1+\alpha(T\omega_c)^2} $，确定$ \alpha $
各参数物理含义：
+ $ e_{ss} $：给定的稳态误差
+ $ \gamma $：给定的相角裕度
+ $ L $：给定的幅值裕度
+ $ \omega_c $：给定的剪切频率
+ $ \gamma_1 $：原系统的相角裕度
+ $ L_1 $：给定的幅值
## 2、相位滞后校正（系统不稳定用滞后校正）
$ G_c(s)=\frac{Ts+1}{\beta Ts+1}=\frac{\frac{1}{\omega_T}s+1}{\frac{1}{\omega_P}s+1}(\beta>1) $
### 求解步骤：已知$ e_{ss}、\gamma、L $
①、根据给定的$ e_{ss} $，确定系统的开环增益$ k=\frac{1}{e_{ss}} $
②、计算原系统相角裕度$ \gamma_1(\omega_c)=\gamma $，确定$ \omega_c $
③、根据$ \frac{\omega_c}{\omega_T}=5\sim10 $，确定$ \omega_T $
④、计算原系统的幅值$ L_1(\omega_c) $，并令$ L_c(\omega_c)=L_c(\omega_T)=-L_1(\omega_c)=20lg\frac{1}{\beta} $，确定$ \beta $
各参数物理含义：
+ $ e_{ss} $：给定的稳态误差
+ $ \gamma $：给定的相角裕度
+ $ L $：给定的幅值裕度
+ $ \gamma_1 $：原系统的相角裕度
+ $ L_1 $：给定的幅值